6. Sınıf Matematik

Çarpan ve kat kavramlarına öğrencilerin günlük hayatlarında deneyimledikleri problem bağlamları üzerinden giriş yapılır. Problemlerin çözümünde bir doğal sayının çarpanlarına dikkat çekilerek bir doğal sayının ikiden fazla çarpanı olabileceğini keşfetmeleri sağlanır. Ayrıca bir doğal sayının katlarından oluşan örnekler üzerinden (örüntüler gibi) merak uyandıracak sorular sorularak öğrencilerin dikkati kat kavramına çekilir.

Sayıların bölünebilme özellikleri ile ilgili genelleme yapılamayacak durumlardan örnek verilebilir. Örneğin “Hem 2 ile hem de 3 ile bölünebilen sayılar aynı zamanda 6 ile bölünebilirken hem 2 hem de 4 ile bölünebilen sayılar neden 8 ile bölünemez?” durumunu araştırmaları istenebilir. Bölünebilme özelliklerini doğrulamaya yönelik araştırma görevi verilerek öğrencilerden bu özelliklere ilişkin çeşitli çıkarımlar yapmaları beklenebilir. İçerisinde matematiksel ilişkiler barındıran -T.C. kimlik numaraları ile ilgili ilk 10 hanenin toplamının 10 ile bölümünden kalanın 11. hane ile ilişkisini bulma gibi- etkinlikler tasarlanabilir. Öğrenciler asal sayıların tarihi gelişimi ve özellikleri, önemi; Goldbach (Goldbah) varsayımı, Mersenne (Mersen) asalları, ikiz asallar, Fermat asalları, palindromik asallar gibi özel sayılar ve konjektörleri ile ilgili bilimsel çalışmaları araştırarak asal sayılarla ilgili çıkarımlarda bulunabilirler ve kendi özel sayılarını oluşturabilirler. Ayrıca asal sayıların şifreleme ve kriptografi alanlarındaki etkisi ve önemi araştırma ödevi olarak verilebilir. Öğrencilerin kodlama dilini öğrenmeleri ve bilgisayarda algoritmik kod yazma çalışmaları yapmaları sağlanabilir. Öğrenciler araştırma sonuçlarını kodlama uygulamaları kullanarak asal sayı konjektörleri ile kodlama çalışmaları yapabilir, genellemelere ulaşabilir. Öğrenciler için asal sayı, asal çarpan ve bölünebilme ile ilgili özelliklere ait oyunlar sınıf içinde kullanılabilir [örneğin Juniper Green (Juniper Grin) Oyunu]. Öğrencilerden “arkadaş sayıları” incelemeleri, aralarındaki ilişkileri (örneğin, 220 ile 284 arkadaş sayılardır) ve tarihsel süreçte bu sayıları keşfeden bilim insanlarını [Sabit bin Kurre, Pisagor, Pierre de Fermat (Piyer Dö Ferma), Descartes (Dekart) gibi] araştırmaları istenebilir. Bu süreçte öğrencilerden hangi sayıların keşfedildiğini anlatan özgün bir materyal tasarlamaları (afiş, poster, dijital materyal gibi) beklenebilir. Öğrenciler ortak bölen ve ortak kat ile ilgili öğrenmelerini uygulayabilecekleri gerçek yaşam problemleriyle karşı karşıya getirilerek (trafik sorunları için trafik ışıklarının düzenlenmesi gibi) ele aldıkları problemlere çözüm üretmeleri istenebilir. Öğrencilerin çarpan ve katlar, bölünebilme kriterleri, asal sayılar ve asal çarpanlar ile ilgili düzeylerine uygun olimpiyat sorularını çözmeleri sağlanabilir.

Bir doğal sayının çarpanlarına, katlarına, asal sayılara ve iki doğal sayının ortak kat ve bölenlerine yönelik görsel, işitsel ve dijital materyaller ile modelleme etkinlikleri uygulanabilir. Bölünebilme kriterleri ile ilgili çalışmalarda öğrencilerin öncelikle hesap makinesi ya da sayı doğrusu kullanması sağlanabilir. Öğrencilerin bölünebilme kriterlerini keşfetmelerini sağlamak amacıyla bölünebilmeye önce 10, 5 ve 2 ile başlanabilir. Diğer yandan öğrenme uygulamalarında etkileşimli çevrim içi uygulamalardan (oyunlar, bilgi yarışmaları gibi) yararlanılabilir.

Nicel (kesikli) veri içeren ve merak uyandıran bir haber sunularak öğrencilerin bu durum hakkındaki düşünceleri ve önceki deneyimleri sorgulanır. Araştırma soruları oluşturulurken kullanılacak veri türünün kategorik ya da kesikli olma durumu muhtemel bulgular dikkate alınarak sınıf ortamında tartışılır. Bu tartışmada olası görselleştirme araçlarının veri türü ile uygunluğu ele alınır.

Toplumsal bir soruna çözüm üretmeye yönelik istatistiksel araştırma süreci tasarlanabilir. Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) gibi platformlarda yayımlanan veri setlerinin incelenmesi ve karşılaştırılmasına yönelik çalışmalar yapılabilir. Dijital araç kullanma becerilerini geliştirmek için çevrim içi uygulamalar veya istatistik yazılımları kullanmaları sağlanarak sonuçlarını poster gibi araçlar yardımıyla sunmaları istenebilir. Farklı dağılımlara sahip büyük veri setlerinin merkezî eğilim ölçülerine ulaşılmasında sayı örüntüleri gibi farklı hesaplama stratejilerini işe koşmaları beklenebilir. Benzer şekilde merkezî eğilim ölçülerinin seçimine yönelik gerekçeler ele alınırken öğrencilerin aritmetik ortalama, ortanca ve tepe değeri karşılaştırarak yorumlaması sağlanabilir. Gerçek yaşamdaki (hava kirliliği, trafik yoğunluğu gibi) birden fazla kök alternatifi görünen veri setleri için kök-yaprak gösteriminin oluşturulması ve yorumlanması istenebilir.

Öğrencilerin ilgi alanları ve merak ettiği konular bağlamında araştırma sürecine dâhil olmaları sağlanabilir. Bir veri setini özetlemeye yönelik yapılan merkezî eğilim ölçüleri hesaplamaları küçük parçalara bölünerek aşamalar adım adım gerçekleştirilebilir. Araştırma sürecinin öğrenci tarafından belirlenen bir bağlamda yürütülmesi sağlanabilir. Öğrencilere iş birlikli öğrenme fırsatları sunularak öğrencilerin istatistiksel araştırma sürecine dâhil olmaları beklenebilir.

Doğal sayıların basamak ilişkileri hatırlatılarak basamaklar arasındaki 10’un kuvvetlerine dayalı ilişkinin ondalık gösterimler için de geçerli olduğunu keşfettirmeye yönelik bir çalışma gerçekleştirilebilir

Öğrencilerden Mısırlıların bir kesri, birim kesirlerin toplamı olarak nasıl yazdıklarına ve bölme işleminden yararlanarak ondalık gösterimleri kesir biçiminde nasıl ifade ettiklerine yönelik araştırma yapmaları istenebilir. Uzunluk ölçme birimlerinin diğer disiplinlerde kullanım alanlarını keşfetmesine yönelik araştırma görevi verilebilir. Kesir, ondalık ve yüzde gösterimleri ile ilgili gerçek yaşam problemleri verilerek çözümleri tartışılabilir. Örneğin 150 birimkarelik bir evin kullanım alanlarının öğrencilere göre en verimli büyüklüklerini yüzde ile belirlemeleri ve hesaplamaları istenebilir. Problemin çözüm sürecinde ortaya çıkan büyüklükleri kesir ve ondalık gösterimler ile ifade etmeleri istenebilir. Elde edilen büyüklüklerin uygun olup olmadığı tartışılır ve tartışma sonucunda kullanım alanlarıyla eşleştirilen yüzdelikler manipüle edilerek yeni büyüklükler karşılaştırılabilir. Bu süreçte elektronik tablodan yararlanılabilir.

Uzunluk ölçme, ondalık gösterimlerin çözümlenmesi, basamak değerleri, kesir ve bölme ilişkisine yönelik çevrim içi oyunlar kullanılabilir. Kesir, ondalık ve yüzde gösterimleri ile ilgili problem çözümlerinde öğrencilerin yakın çevrelerinden, ilgi alanlarından problem bağlamları seçilebilir. Örneğin ondalık gösterimler ile işlemlerde para bağlamı (125,5 TL paramın onda biri kadar borcum varsa kaç liram kalır?) seçilebilir. Ayrıca problemler kolaydan zora doğru hazırlanarak çözüm süreçlerinde öğrencilere bireysel destek verilebilir ve çözümlerine anlık geri bildirimler yapılabilir. Bu süreçte grup çalışmalarından da yararlanılabilir. Öğrencilerin grup tartışmalarına aktif katılımı teşvik edilerek düşüncelerini açıklamalarına fırsat verilebilir. Öğrencilerin bireysel ya da grup çalışmalarına yönelik günlük tutmaları sağlanarak düşünceleri hakkında fikir sahibi olunabilir. Öğrenme çıktıları görsel, işitsel, dokunsal veya dijital materyallerle desteklenebilir.

Öğrencilerin seçilen bir deneyde (örneğin içinde 5 yeşil ve 3 pembe özdeş top bulunan bir torbadan top çekme deneyi) olayların olasılığı üzerine tahminlerini olasılık spektrumu görselinde işaretlemeleri istenir. Ardından öğrencilere deney sonuçlarını nasıl kaydedebilecekleri, tahminlerini doğrulamak için bu deneyi en az kaç kere tekrarlamaları gerektiği gibi sorular sorulur.

Öğrencilerin bireysel veya grup olarak yapabilecekleri bir performans görevinde seçilen bir deneyin simülasyonunu bir istatistik yazılımında tasarlamaları ve bu deneye ait veri toplamaları sağlanabilir. Simülasyonda tekrar sayısı artırıldığında istenen çıktı sayısında ve olasılık hesaplamalarındaki değişimi izleyerek çıkarımlarda bulunmaları istenebilir. Elde ettikleri veriye göre seçilen olayın olasılığını deneysel olarak ifade etmeleri ve tüm deney sürecini poster şeklinde hazırlamaları beklenebilir.

Olasılık deneylerinde daha az sayıda tekrar yapılabilir. Öğrencilerin olasılık spektrumu aralığında olmayan tahminlerinin, sayıların farklı temsilleri arasındaki ilişkilere dayanarak tartışmaları sağlanabilir. Deneyin çıktılarının farklı görselleştirme araçları ile kaydedilmesi ve incelenmesi sağlanabilir.

Öğrencilerin günlük hayattan düzlemde üç doğrunun birbirine göre durumlarını temsil eden örnekler (rayları kesen hemzemin geçit, yaya geçidi çizgileri gibi) vermeleri istenir. Öğrencilerin verdikleri örnekler üzerinden düşüncelerini ifade edebilecekleri tartışma ortamı oluşturulur. Öğrencilerin iki doğrunun kesişmesi sonucu oluşan ters, komşu ve bütünler açıları belirlemeleri beklenir.

Öğrencilerin, geometrik şekiller üzerine tarih boyunca çalışmalar yapan matematikçilerin (Öklid, Arşimet, Fârâbî, Ebü’l-Vefâ el-Bûzcânî gibi) çalışmalarını dijital ortamda uygun veri kaynaklarını kullanarak araştırmaları, ardından elde edilen dijital bilgiyi telif haklarına dikkat ederek raporlaştırmaları istenebilir. İki paralel doğrunun bir kesenle oluşturduğu açıların özelliklerini dikkate alarak, verilen herhangi iki doğrunun paralel olup olmadığını cetvel ve açıölçer yardımıyla yaptıkları çizimler ve ölçümlerden hareketle gerekçelendirmeleri istenebilir. Düzlemde verilen iki kesişen doğru üzerinde pergel yardımıyla çalışarak dikdörtgenin ve paralelkenarın köşegenlerini, ardından özel olarak iki dik doğru üzerinde pergel yardımıyla çalışarak karenin ve eşkenar dörtgenin köşegenlerini inşa etmeleri istenebilir. Pergel ve ölçüsüz cetvel kullanarak verilen bir doğru parçasını kenar kabul eden eşkenar dörtgen inşa etmeleri istenebilir. Ayrıca yine pergel ve ölçüsüz cetvel kullanarak verilen bir doğru parçası köşegenlerden biri olacak biçimde eşkenar dörtgen inşa etmeleri sağlanabilir. Gönye ve pergel kullanarak bir doğru parçasını kenar kabul eden kare oluşturmaları; açıölçer ve cetvel kullanarak bir doğru parçasını kenar kabul eden yamuk ve paralelkenar çizmeleri beklenebilir. Dörtgenlerde ardışık kenarların orta noktalarının birleştirilmesiyle oluşturulan dörtgenlerin özelliklerini incelemeleri ve söz konusu çizimler eşkenar dörtgen, dikdörtgen ve karenin kenarlarının orta noktalarından yapıldığında hangi dörtgenlerin meydana geldiğini belirlemeleri istenebilir. Süreçte öğrencilerin matematik yazılımından yararlanmaları sağlanabilir. Öğrencilere dörtgenlerin ve üçgenlerin açılarına yönelik birden fazla çözümü olan problemler verilerek öğrencilerin farklı çözüm yolları geliştirmeleri istenebilir. Böylece yaratıcılıkları ve matematiksel düşünme süreçleri desteklenebilir. Çeşitli şehirlerin kültürel ögelerinden (Türkiye’deki tarihî mekânlardaki ve mozaik müzelerindeki eserlerin incelenmesi) esinlenerek özgün geometrik mozaik tasarımlar oluşturmaları istenebilir. Oluşturdukları tasarımları sınıf ortamında sunmaları sağlanabilir.

İki paralel doğrunun bir kesenle oluşturduğu açıların incelenmesine yönelik renkli kâğıtlar üzerinde oluşturulan eş açı modellerini kesme ve birleştirme çalışmaları yapılabilir. Ayrıca üçgenin ve dörtgenin iç açıları ölçüleri toplamını incelerken kâğıt kesme ve katlama çalışmalarından yararlanmaları sağlanabilir. Öğrencilere matematik yazılımında hazırlanan manipülatifleri kullanma fırsatı da verilebilir. Gönye ve cetvel kullanarak verilen bir doğru parçasını kenar kabul eden dikdörtgen ve kare çizmeleri istenebilir. Dörtgenlere ilişkin yaratıcı drama çalışmaları yapılabilir. Çalışmalar içerisinde, örneğin sadece dörtgenlerden meydana gelen alternatif bir dünya içerisinde her öğrencinin yamuk, paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen ve kare arasından seçtiği bir dörtgen olduğu, birbirleriyle tanışırken sahip oldukları özellikleri açıkladıkları ve ortak özelliklerini fark ettikleri canlandırma etkinlikleri yapılabilir. Basitten karmaşığa, kolaydan zora problemler verilerek öğrencilerin kendi hızında öğrenmeleri sağlanabilir. Öğrenme uygulamaları çoklu duyuya hitap eden somut materyallerle desteklenebilir. Öğrencilerin görev paylaşımı ve karar verme süreçlerinde ön yargısız olmalarını ve yeteneklerine uygun görevler almalarını destekleyen, adil ve iş birlikli bir öğrenme ortamı oluşturulabilir.

Cebirdeki harfli ifadelerin ya da değişken kavramının tarihsel sürecinden ve bu süreçte Hârizmî ve Ömer Hayyam gibi âlimlerin cebire katkılarından bahsedilerek başlanabilir. Öğrencilere matematiksel ilişkileri keşfedecekleri gerçek yaşam bağlamları sunulur. Bağlamlardaki nicelikler, nicelikler arasındaki ilişkiler ve nicelikleri ifade etmede kullanılabilecek temsillerin neler olabileceği tartışılır. Örneğin “bir okulda kütüphane kurma kampanyası” kapsamında planlanan tişört ve kek satışı gibi durumlar ele alınabilir. Bu yardım kampanyasından elde edilecek geliri hesaplamak için gerekli niceliklerin neler olabileceği belirlenir. Tişört satışı bağlamında belirlenebilecek nicelikler tişörtlerin alım ve baskı maliyetleri, satılacak tişört sayısı, elde edilen gelir ile alınabilecek kitap sayısı olabilir. Belirlenen niceliklerin matematiksel olarak nasıl ifade edileceği üzerine tartışmalar gerçekleştirilir.

Cebirin tarihsel gelişimine öncülük eden Hârizmî, Ömer Hayyam, Ebu Kâmil, Şerefeddin Tûsî gibi âlimlerin kullandıkları yöntemleri araştırmaları istenebilir. Tarihsel süreçte değişkenler ve cebirsel ifadelere karşılık gelen temsillerin neler olduğunu belirlemeleri sağlanabilir. Bununla birlikte Cumhuriyet Dönemi’ndeki Ali Yar, Kerim Erim, Cahit Arf gibi matematikçilerin cebir alanına yaptıkları katkıların araştırılmasına yönelik bir pano hazırlamaları beklenebilir. Öğrencilerin sembollerin anlamları hakkında yeni bilgiler edinmelerini sağlamak amacıyla matematikte ve diğer disiplinlerde (fizik gibi) kullanılan farklı sembollerle [örneğin fi sayısı (φ), Euler (Öyler) sabiti (e), ışık hızı (c), i sayısı] ilgili araştırma yapmalarına yönelik bir görev verilerek poster şeklinde sunmaları istenebilir. Fibonacci (Fibonaçi) dizisi ya da Collatz (Kolıt) varsayımı gibi konular üzerine araştırma yapmaları istenebilir. Bu konularda öğrencilere algoritmalar sunularak bu algoritmaların araştırdıkları konularla nasıl ilişkilendirilebileceği üzerine düşünmeleri beklenebilir. Bu sınıf seviyesine uygun problemlere ait algoritmaları temel programlama dillerinde sunarak öğrencilerin bu dillerdeki örüntüleri incelemeleri ve bu diller hakkında çıkarımlarda bulunmaları teşvik edilebilir.

Verilen çalışmaların sayısı öğrencilerin ihtiyaçları doğrultusunda belirlenebilir. Bilinmeyen nicelikleri oluştururken renkli örüntü blokları gibi somut materyallerden yararlanılabilir. Örüntünün yapısını cebirsel olarak ifade etmede tek işlem içeren örneklerden başlanarak karmaşık örneklere geçilebilir. Gerçek yaşam durumları ve cebirsel ifadeler arasında ilişkilendirmelerde grup çalışmaları yapılabilir. Başlangıçta daha az adıma sahip olan algoritmalar üzerinde çalışmaları sağlanabilir. Bu süreçte algoritmalar küçük parçalara bölünerek her bir parçada neler yapıldığını ayrı ayrı incelemeleri istenebilir. Öğrencilerin algoritma okuma süreçlerini desteklemede görselleştirme ve dijital araçlardan yararlanılabilir.

Günlük hayattan çeşitli örnekler üzerinden nesnelerin alanlarına yönelik tahmin çalışmaları yapılır. Örneğin öğrencilerin sınıfın zemininin veya yazı tahtasının ön yüzünün alanını tahmin etmeleri istenebilir. Bu süreçte öğrencilerin tahminleri için çeşitli stratejiler geliştirmeleri ve sınıfta tartışmaları sağlanır.

Öğrencilerin alan ölçme birimlerinin kullanıldığı ve birbirine dönüştürüldüğü gerçek yaşam problemlerini çözmeleri istenebilir. Paralelkenarda bir köşegen üzerinde rastgele seçilen bir noktadan kenarlara paralel olacak biçimde çizilen doğruların meydana getirdiği dörtgenlerin alanlarını karşılaştırmaları (matematik yazılımındaki sürükleme özelliğinden yararlanma) istenebilir. Noktalı ya da kareli kâğıt üzerinde noktalar birleştirilerek oluşturulmuş -çeşitli üçgenlere, dikdörtgenlere ve paralelkenarlara parçalanabilen- kapalı şekillerin alanlarını farklı stratejiler ile hesaplamaları istenebilir. Tarihte farklı medeniyetlerin pi sayısına yönelik kullandıkları yaklaşık değerlere ve pi sayısının ondalık açılımına yönelik dijital kaynaklardan edindikleri bilgiler üzerinde sorgulama ve akıl yürütme becerilerini işe koşmaları ve araştırma sonuçlarını raporlaştırarak sınıfa sunmaları beklenebilir. Öğrencilere gerçekçi yaşam durumları (dönme dolap kabinlerinin arasındaki merkez açı, farklı büyüklüklerde kavanoz veya şişe kapakları, bisiklet tekerleri, bilezik modelleri, saat modelinde farklı saat dilimlerinde akrep ile yelkovan arasındaki merkez açı, çap uzunlukları ya da çevreleri bilinen topların basketbol potasından geçişi, hulahop gibi) içeren görseller verilerek çemberin merkez açısı, yay uzunluğu ve çemberin uzunluğuna yönelik problem kurmaları ve kurdukları problemi farklı stratejiler kullanarak problem çözme adımlarına göre çözmeleri istenebilir. Öğrencilerin paralelkenar ve üçgenin alanına, çember ve yay uzunluğuna yönelik olimpiyat sorularını çözmeleri sağlanabilir.

Alan ölçme birimleri ve dönüşümlerine ilişkin sanal manipülatifleri ya da çevrim içi oyunları içeren çalışmalar yapılabilir. Paralelkenar, üçgen ve dikdörtgenin temel elemanlarını belirlemeye ve alanları arasında ilişki kurmaya yönelik origami çalışmaları yapılabilir. Pergelle çember çizme çalışmaları yapılabilir. Çemberin temel elemanları belirlenebilir. Çevrim içi uygulamalardan yararlanarak pi sayısının ondalık basamaklarında doğum tarihini bulma gibi ilgi çekici çalışmalar yapılabilir. Geometrik şekillerin alanları, çember ve yay uzunluğu bağlamı içeren kolaydan zora, basitten karmaşığa ilerleyen günlük hayat problemleri verilebilir. Bu problemlerin çözüm sürecinde öğrencilere bireysel ya da iş birlikli öğrenme ortamları oluşturularak destek verilebilir.